Resolução de integrais com coodenadas polares e cilindricas

Resolução de integrais triplos

calcular a seguinte integral tripla:

(b) \quad \int_0^a \int_0^{\sqrt{a^2 - x^2}} \int_0^{a^2 - x^2 - y^2} x^2 \, dz \, dy \, dx, \quad a > 0

A primeira etapa consiste em resolver a integral mais interno:

= \int_0^a \int_0^{\sqrt{a^2 - x^2}} x^2 \left[ z \right]_0^{a^2 - x^2 - y^2} \, dy \, dx

= \int_0^a \int_0^{\sqrt{a^2 - x^2}} x^2(a^2 - x^2 - y^2) \, dy \, dx

Agora, aplicamos a propriedade distributiva:

= \int_0^a \int_0^{\sqrt{a^2 - x^2}} \left( x^2 a^2 - x^4 - x^2 y^2 \right) \, dy \, dx

Depois de desenvolver o integrando, temos:

= \int_0^a \left[ \left( x^2 a^2 - x^4 \right) \sqrt{a^2 - x^2} - x^2 \cdot \frac{1}{3} \left( \sqrt{a^2 - x^2} \right)^3 \right] dx

= \int_0^a \left[ \left( x^2 a^2 - x^4 \right) \sqrt{a^2 - x^2} - \frac{x^2}{3} \left( a^2 - x^2 \right)^{3/2} \right] dx

ACABAR....

Exercícios de Estatística – MACS

3) Numa fábrica de confecções, estima-se que 2% das peças saem com defeito. Analisou-se um lote constituído por oito peças. Qual é a probabilidade de, nesse lote:

3.1) Existirem 4 peças com defeito?

3.2) Haver mais do que uma peça com defeito?

4) A Ana tem 10 rifas, das quais 4 têm prémio. Tiramos sucessivamente e ao acaso 3 dessas rifas sem reposição.

4.1) Determine a probabilidade de:

4.1.1) Serem duas premiadas
4.1.2) Serem as três premiadas

4.2) Defina a função massa de probabilidade para a variável aleatória
X: "número de rifas sem prémio, de entre as três escolhidas",
e calcule a média e a variância, apresentando todos os cálculos.

5) Numa cidade com 30 000 habitantes:

20% das pessoas assinam a revista A
30% assinam a revista B
65% não assinam nenhuma das duas revistas

Escolhendo ao acaso uma pessoa desta cidade, calcule a probabilidade de:

5.1) Assinar ambas as revistas
5.2) Assinar pelo menos uma das duas revistas
5.3) Assinar a revista A, mas não assinar a revista B

6) Considere duas caixas, A e B:

Caixa A: 2 bolas verdes e 5 bolas amarelas
Caixa B: 6 bolas verdes e 1 amarela

Lança-se um dado equilibrado (faces numeradas de 1 a 6).

Se sair face 1, tira-se uma bola da caixa A
Caso contrário, tira-se uma bola da caixa B

Considere os acontecimentos:

X: "Sair face par no lançamento do dado"
Y: "Sair bola verde"

Calcule:

6.1) $P(Y \mid X)$
6.2) $P(Y \cap X)$
6.3) $P(Y)$

7) Três máquinas (A, B e C) produzem peças do mesmo tipo.

B produz metade de A
C produz o mesmo que B

Taxa de defeitos:

A e B: 2% defeituosas
C: 4% defeituosas

Toda a produção é misturada. Retira-se uma peça ao acaso. Calcule:

7.1) A probabilidade de ser defeituosa
7.2) A probabilidade de ser defeituosa, sabendo que foi produzida pela máquina A
7.3) A probabilidade de ter sido produzida pela máquina A, sabendo que tem defeito

Definição de Derivada num ponto

Regras de derivação com exemplos

Exercício de Análise de Função Racional

Considera a função:

f(x) = \frac{2x + 3}{x - 2}

1. Determina:

a) O domínio da função
b) O contradomínio da função
c) A equação das assíntotas
d) O sinal da função
e) Os intervalos de monotonia

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