Geometria de 11ºano -Revisões

Geometria de 11ºano -Revisões

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Resolução

Cálculo de uma Integral Tripla

$$\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{1} z \cdot x \cdot \sin(xy) \, dz \, dy \, dx =$$
$$= \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{\sqrt{\pi}} x \cdot \sin(xy) \left( \int_{0}^{1} z \, dz \right) dy \, dx$$
$$={\int }_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}{\int }_0^{\sqrt{\pi }}x\cdot \sin (xy)\cdot {\left[\frac{z^2}{2}\right]}_0^{1}dydx$$$$= \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{\sqrt{\pi}} \frac{1}{2} x \cdot \sin(xy) \, dy \, dx$$
$$= \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \left( -\frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{\pi}} -x \cdot \sin(xy) \, dy \right) dx$$
$$= \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} -\frac{1}{2} \left[ \cos(xy) \right]_0^{\sqrt{\pi}} dx$$
$$= \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} -\frac{1}{2} \left( \cos(x \sqrt{\pi}) - \cos(0) \right) dx$$
$$= \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} -\frac{1}{2} ( \cos(x \sqrt{\pi}) - 1 ) \, dx$$

$${\int }_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}(\cos (x\sqrt{\pi })-1)dx$$$$={\int }_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}(1-\cos (x\sqrt{\pi }))dx$$$$= \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} (1 - \cos(x \sqrt{\pi})) \, dx$$
$$=\frac{1}{2}({\int }_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}1dx-{\int }_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}\cos (x\sqrt{\pi })dx)$$

1. Calculamos cada uma das integrais:

   $${\int }_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}1dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{\mathrm{6}}$$

   Para a segunda, fazemos a substituição $u = x \sqrt{\pi} \Rightarrow du = \sqrt{\pi} dx \Rightarrow dx = \frac{du}{\sqrt{\pi}}$

   Quando $x = \frac{1}{3} \Rightarrow u = \frac{\sqrt{\pi}}{3}$

   $${\int }_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}\cos (x\sqrt{\pi })dx=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\int }_{\frac{\sqrt{\pi }}{3}}^{\frac{\sqrt{\pi }}{2}}\cos (u)du=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{[\sin (u)]}_{\frac{\sqrt{\pi }}{3}}^{\frac{\sqrt{\pi }}{2}}$$$$= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left( \sin\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right) - \sin\left(\frac{\sqrt{\pi}}{3}\right) \right)$$​

 

Coordenadas polares, Massa e Centro de Massa

 

Pequena Ficha de trabalho de Introdução às Probabilidades

1-Uma pessoa vai visitar cinco locais, situados no Parque da Nações, em Lisboa: o Pavilhão de Portugal, o Oceanário, o Pavilhão Atlântico, a Torre Vasco da Gama e o Pavilhão do Conhecimento. De quantas maneiras diferentes pode planear a sequência das cinco visitas, se quiser começar na Torre Vasco da Gama e acabar no Oceanário? 

(A) 6          (B) 12          (C) 24        (D) 120 

2-Um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes consecutivas. Qual a probabilidade de saírem três números ímpares? 

(A) 1/27         (B) 1/8     (C) 1/3        (D) 1/2

Lançam-se simultaneamente dois dados equilibrados, de cores diferentes, com as faces numeradas de 1 a 6 e multiplicam-se os dois números saídos. A probabilidade do acontecimento “o produto dos números saídos é 21” é: 

(A) 0        (B) 1/36      (C) 1/18         (D) 21 36

 
Numa turma do 12º ano, 68% dos alunos declararam que gostavam de ver novelas, 22% que gostavam de ver telejornais e 15% que gostavam de ver ambas as coisas. Encontrou-se ao acaso um aluno da turma. Qual a probabilidade desse aluno gostar de novelas mas não gostar de telejornais? 

(A) 68%         (B) 83%       (C) 53%        (D) 46%

Ficha de trabalho de trigonometria-12ºano

Aqui estão os limites notáveis mais importantes do 12.º ano, fundamentais para o cálculo de derivadas, integrais e séries. Estes limites devem ser bem memorizados e compreendidos:

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✅ 1. Limite do seno

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

Muito usado na derivação de funções trigonométricas.

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✅ 2. Limite exponencial

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$$

Essencial para a derivada da função exponencial.

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✅ 3. Limite logarítmico

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$$

Muito usado quando se trata da derivada da função logarítmica.

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✅ 4. Potência com base exponencial

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e$$

Definição clássica do número de Euler $e \approx 2.718$.

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📌 Conclusão:

Quando vires uma expressão do tipo $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$, lembra-te de aplicar limites notáveis, racionalizações, fatorizações ou a regra de l'Hôpital (mais usada no ensino superior, mas útil para entender o comportamento das funções).

Considerando os limites notáveis dados anteriormente, resolve a seguinte ficha de trabalho

É de entender que os alunos devem ter as noções prévias dos limites em casos muito simples

Ficha de trabalho- Limites