Determinação da média, moda e mediana em dados discretos

 

1. Média aritmética

A média é a soma de todos os valores dividida pelo número total de observações.

$$\text{Média} = \frac{\sum x_i \cdot f_i}{\sum f_i}$$

• $x_i$ = valor da variável

• $f_i$ = frequência (número de vezes que o valor aparece)

Exemplo:

Valor ($x_i$)	Frequência ($f_i$)
2	3
4	5
6	2

$$\text{Média} = \frac{(2 \cdot 3) + (4 \cdot 5) + (6 \cdot 2)}{3 + 5 + 2} = \frac{6 + 20 + 12}{10} = \frac{38}{10} = 3,8$$

2. Moda

A moda é o valor que ocorre e/ou aparece mais vezes.
No exemplo acima:

• Frequências: $3, 5, 2$→ maior frequência é 5 → Moda = 4

3. Mediana

A mediana é o valor central quando os dados estão ordenados.

Passos:

1. Calcular a frequência acumulada ($F_i$).

2. Determinar a posição da mediana:

   $$P_{\text{med}} = \frac{n+1}{2} \quad \text{onde } n = \sum f_i$$

3. Ver em que intervalo de $F_i$ essa posição se encontra.

4. O valor correspondente é a mediana.

Exemplo:

$x_i$	$f_i$	$F_i$
2	3	3
4	5	8
6	2	10

• $n = 10$
  

• $P_{\text{med}} = \frac{10+1}{2} = 5,5$→ está entre as posições 5 e 6.

• Olhando para $F_i$: a posição 5,5 está no valor 4 → Mediana = 4.

Resolução de exercícios 

1. Exercício – Dados de idades de alunos

A tabela mostra as idades ($x_i$) de um grupo de alunos e as respetivas frequências ($f_i$):

Idade ($x_i$)	Frequência ($f_i$)
12	4
13	7
14	5
15	3
16	1

Determina:

1. Média

2. Moda

3. Mediana

2. Exercício – Pontuação num jogo

Pontos ($x_i$)	Frequência ($f_i$)
20	6
25	4
30	8
35	2

Calcula:

1. Média

2. Moda

3. Mediana

3. Exercício – Número de filhos por família

Nº de filhos ($x_i$)	Frequência ($f_i$)
0	3
1	5
2	7
3	4
4	1

Determina:

1. Média

2. Moda

3. Mediana

Operações com frações e simplificação

 

1. Frações irredutíveis

Para transformar uma fração em fração irredutivel temos que dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número (o maior possível).

Exemplo:

$$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$$

Usar o m.d.c (máximo divisor comum) para simplificar rapidamente.

2. Operações com frações

➤ Adição e Subtração

• Mesmo denominador: soma/subtrai apenas os numeradores.

$$\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8}$$

• Denominador diferente: encontra o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) dos denominadores, depois ajusta as frações.

$$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{\mathrm{12}}$$

➤ Multiplicação

Multiplica numeradores entre si e denominadores entre si.

$$\frac{2}{5}\times \frac{3}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{\mathrm{10}}$$

➤ Divisão

Multiplica a primeira fração pelo inverso da segunda.

$$\frac{3}{7} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{7} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{14}$$

Resolução de exercícios

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